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俄國數學天才,提出平行線可以相交,被嘲笑數十年,死后竟被證實
2023/09/11

在數學的世界中,存在著一種神秘而引人入勝的概念,它既簡單又復雜,既常見又令人著迷。它被稱為平行線。無論你是在學校的數學課堂上追逐著它的蹤跡,還是在日常生活中遇到它的身影, 平行線總是以一種特殊的方式吸引著我們的注意力。從鐵軌上的平行鋼軌到建筑物的平行墻壁,平行線以其獨特而優雅的形態融入了我們的生活。

接受過九年義務教育的都知道,平行線永遠不會相交,無論在何處延長或縮短,它們始終保持相互平行的關系。然而有一個人卻表示: 平行線是能相交,最開始他的說法也被質疑,甚至始終得不到認可。直到他死后12年,人們才發現他才是真正的天才。

歐幾里得第五公設

公元前3世紀,著名的希臘幾何學家和數學家歐幾里得集前人經驗之大成,著成了古希臘幾何學的權威之作《幾何原本》,這是一部包含幾何學基本原理、定理和證明的巨著。

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《幾何原本》被認為是古希臘幾何學的權威之作,并且成為幾何學教學的標準手冊長達兩千多年之久。

著作一開頭給了邏輯推演的前提,即適用于所有科學的五大公理和適用于幾何學的五大公設。 歷代學者對五大公里和前四公設都很滿意,唯獨對第五公設保持懷疑,而第五公設恰恰就是描繪直線和平行線關系的一條。

第五公設的陳述是: 如果一條直線與另外兩條直線相交,且使內角和小于180度的兩個同邊內角之和小于180度,那麼這兩條直線在這一邊延長的部分將相交。

第五公設非常奇怪,因為它無論是語句長度和內容,都不像是個定理,反而像是歐幾里得布置的作業: 我沒有找到如何證明這個公設,因此不得不將它放到公設行列,證明的事兒就交給你們吧!

歷代數學家們接受了挑戰,從公元前3世紀到19世紀,他們前赴后繼地試圖通過其他公設和推論來證明第五公設,但一直沒有人成功。

直到19世紀初,一個名叫尼古拉斯·伊萬諾維奇·羅巴切夫斯基的俄羅斯數學家轉變了思路。

俄國天才少年

1972年,羅巴切夫斯基出生在一個普通家庭,他的父母并非數學背景,但他從小展現出了對數學的極大天賦和興趣。 據傳記資料顯示,他在小時候就顯示出了非凡的數學才能,能夠輕松地解決復雜的數學問題,并展示出對幾何學的深刻理解。

在不到15歲的年紀,他成功考入了喀山大學,是一位真正的少年天才。 他在大學期間以驚人的速度完成了本科和碩士學位所需的全部課程學習,并成功獲得了物理數學碩士學位。這種快速而出色的學業成就使他成為人們羨慕的對象。

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在完成基礎學業后,羅巴切夫斯基選擇留校并擔任助教教授一職。在不到30歲的年紀,他已經成為一位備受矚目的常任教授。他的學術成就和才華使他在學術界嶄露頭角,備受推崇。 羅巴切夫斯基并不僅僅是一個專注于學術研究的學者。他積極參與學校的行政事務,并被選入學校委員會。他還兩次被學校委派擔任物理數學系的主任,展現出卓越的管理才能。這些經歷表明他不僅在學術領域有突出的才能,而且在領導和管理方面也表現出出色的能力。這使他成為當時俄羅斯學術界的一顆明星。 他在學術界的聲望和成就為他贏得了廣泛的贊譽和尊敬,然而他卻注定走上一條被人質疑的路。

反證法

在大學期間,羅巴切夫斯基就對幾何學產生了濃厚的興趣,并開始探索幾何學中一些基本假設的可變性。

與歷代數學家一樣,他也想證明第五公設。

他在給學生講課期間做了大量的推論,并試圖給出一些證明。然而他很快發現自己的證明都是錯誤的,沒有任何一個經得起推敲。羅巴切夫斯基心想2000多年無數天才大師都跟我一樣失敗了,會不會歐幾里得的第五公設就不存在什麼證明?

羅巴切夫斯基轉變了思想,進入到一個全新的命題: 證明第五公設不可證。為此,他創造性地使用了反證法來證明這一點。反證法是基于邏輯推理的原理,通過假設命題的否定為真,然后推導出矛盾的結論,從而得出原命題的真實性。而這一次,羅巴切夫斯基獲得了意想不到的結果。

第五公設有個等價命題,名為普列菲爾公理,即過平面直線外一點,只能引一條直線與已知直線不相交。羅巴切夫斯基的否定命題則很簡單:

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過平面上直線外一點,至少可引兩條直線與已知直線不相交。

基于這個否定命題和被認為合理的其他公理公設,羅巴切夫斯基構建了一個新的公理系統,開始進行邏輯推演。在推演的過程中,他得到了一系列看似古怪且與常規幾何相悖的命題。然而, 經過仔細審查,他發現這些命題之間并沒有邏輯矛盾,于是他斷言,這是一種新的幾何理論,其邏輯嚴密性和完整性完全可以和歐幾里得幾何媲美!

不走尋常路

羅巴切夫斯基在1826年發表了一份重要的論文,其中他提出了與歐幾里得幾何學不同的幾何學體系。他放棄了歐幾里得幾何學中的第五公設,提出了一種新的平行公設。然而他的發言卻讓喀山學會的與會者感到非常奇怪,因為羅巴切夫斯基說

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:三角形的內角和小于180°;平行線能相交……每一句話都是莫名其妙,與人們的日常常識完全背道而馳,就是七八歲的小孩也能駁斥他。喀山學會的數學家對這篇論文持否定的態度,甚至本來對這青年才俊熱情的人們也變得冷漠和反對,人們都以為羅巴切夫斯基瘋了。

1826年的論文因此石沉大海,但羅巴切夫斯基并沒有放棄。 憑著在學術上的造詣,3年后他已經被推選為喀山大學的校長,他寫了一篇內容更為詳盡的論文《幾何學原理》。出于對校長的尊重,喀山大學的校報全篇發表了這篇論文,然而依然沒有人能理解他。

3年之后又3年,羅巴切夫斯基將《幾何學原理》呈送彼得堡科學院,想請科學院的專家看看。然而時任科學院院士、著名數學家奧斯特羅格拉茨基根本沒看懂,而且絲毫不給面子地嘲諷道:

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看來我們的校長準備寫出一篇凡人不能理解的著作,以此達到成名的目的。不過在我看來,羅巴切夫斯基校長的著作錯漏百出,根本不值得科學院注意!

院士的嘲諷一出,羅巴切夫斯基瞬間成為眾矢之的,學術界甚至包括其他領域的人也開始對他人身攻擊。當時的歐洲數學界天才云集,也有一位能看懂,甚至欣賞羅巴切夫斯基的德國數學家,那就是有歐洲數學之王盛名的高斯。

高斯不僅能看懂,甚至早在1792年,也就是羅巴切夫斯基出生的那一年就有了非歐幾何的想法,并且在1817年已經有了成熟的理論。然而高斯這人非常膽小,他害怕引起傳統學術界的不滿和反對,不僅一輩子沒有公布自己的非歐幾何理論,也絕不肯公開支持羅巴切夫斯基。據了解,高斯經常偷偷閱讀羅巴切夫斯基的著作,甚至後來下定決心學習俄語以便閱讀羅巴切夫斯基的全部著作,但他卻不允許友人對外暴露他對非歐幾何的興趣和了解。

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當然高斯還是偷偷支持了羅巴切夫斯基,比如常常夸贊羅巴切夫斯基是個天才,比如推舉羅巴切夫斯基為哥廷根皇家科學院通訊院士……但這些支持對羅巴切夫斯基是沒用的。

歷史自有公論

1856年,一代數學大師羅巴切夫斯基在口述完自己最后的著作后,郁悶地離開了人世。在他在世期間,他的理論始終未能得到學術界認可。他的一生都在做非歐幾何的研究工作,并且為之奮斗30多年,將自己的著作寫成俄語、德語、法語等語言,目的就是想擴大非歐幾何的影響力。

12年后,意大利數學家發表了著名論文《非歐幾何解釋的嘗試》,證明了非歐幾何可以在歐式幾何的曲面上實現。非歐幾何這才得到認可,因為否定非歐幾何就等于是否定了歐式幾何。羅巴切夫斯基也因此被譽為幾何學界的哥白尼。他是一位在逆境中勇敢拼搏的勇士,是數學界真正的巨人。

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